Читать онлайн «Что такое математическая физика»

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Что такое математическая физика? В. С. Владимиров Препринт МИАН № НС-06/001 Москва 2006 УДК 530 Владимиров В. С. Что такое математическая физика? — Препринт, Матема- тический институт им. В. А. Стеклова РАН. — М. : МИАН, 2006. — 20 с.  c Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2006  c В. С. Владимиров, 2006  Il libro della natura é scritto in lingua matematica Galileo Galilei Что такое математическая физика? В. С. Владимиров Математическая физика – это теория математических мо- делей физических явлений. Она относится к математическим на- укам; критерий истины в ней – математическое доказательство. Однако, в отличие от чисто математических наук, в МФ исследу- ются физические задачи на математическом уровне, а результаты представляются в виде теорем, графиков, таблиц и т. д. и получа- ют физическую интерпретацию. При таком широком понимании математической физики к ней следует относить и такие разделы механики, как теоретическая механика, гидродинамика и теория упругости. Первоначально математическая физика сводилась к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Это направление со- ставляет предмет классической математической физики, кото- рая сохраняет важное значение и в настоящее время. Классическая математическая физика развивалась со вре- мён Ньютона параллельно с развитием физики и математики. В конце XVII в. было открыто дифференциальное и интеграль- ное исчисление (И. Ньютон, Г. Лейбниц) и сформулированы основные законы классической механики и закон всемирно- го тяготения (И. Ньютон). В XVIII в. методы математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн, стержней, маятников, а также задач, связанных с акустикой и гидродинамикой; закладываются основы аналитической механи- ки (Ж. Даламбер, Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Лагранж, К. Гаусс, П. Лаплас). В XIX в. методы математической физики получили новое развитие в связи с задачами теплопроводности, диффузии, теории упругости, оптики, электродинамики, нелинейными вол- новыми процессами и т. д. ; создаются теория потенциала, теория устойчивости движения (Ж. Фурье, С. Пуассон, Л. Больцман, О. Коши, М. В. Остроградский, П. Дирихле, Дж. К. Максвелл, Б. Риман, С. В. Ковалевская, Д. Стокс, Г. Р. Кирхгоф, А. Пуан- 4 В. С. Владимиров каре, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, Д. Гильберт, Ж. Адамар). В XX в. возникают новые задачи газовой динамики, теории пере- носа частиц и физики плазмы. Среди многочисленных задач классической математической физики рассматриваются следующие три типа простейших диф- ференциальных уравнений – уравнений математической физики. • Уравнение Пуассона (при f = 0 – уравнение Лапласа) −Δu = f, u = u(x), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ G ⊂ Rn , (1) где Δ – оператор Лапласа, ∂2 ∂2 ∂2 Δ= 2 + 2 + ···+ 2 . ∂x1 ∂x2 ∂xn • Уравнение теплопроводности ∂u = a2 Δu + f, u = u(x, t), x ∈ G ⊂ Rn , t > 0. (2) ∂t • Волнового уравнение ∂2u = a2 Δu + f, u = u(x, t), x ∈ G ⊂ Rn , t > 0. (3) ∂t2 В уравнениях (2) и (3) t обозначает время.