Читать онлайн «Введение в современный групповой анализ. 1. Группы преобразований на плоскости»

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. И. ГЕРЦЕНА Зайцев В. Ф. ВВЕДЕНИЕ В СОВРЕМЕННЫЙ ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ НА ПЛОСКОСТИ Учебное пособие к спецкурсу Санкт-Петербург 1996 УДК 517. 9 Рекомендовано в качестве учебного пособия к спецкурсу "Совре- "Современный групповой анализ дифференциальных уравнений" методическим советом математического факультета Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. В настоящем спецкурсе (спецкурс-1) излагаются вводные понятия и теоремы, необходимые для изучения современного группового анализа, но отсутствующие в основной программе физических и математических факультетов педагогических университетов. Спецкурс-1 может быть про- прочитан студентам (начиная с третьего курса, в том числе и студентам тью- торских групп), стажерам, аспирантам первого года обучения, слушате- слушателям ФПК, а также всем специалистам смежных и прикладных специально- специальностей, интересующимся групповым анализом. Рецензент', заведующий кафедрой математического анализа Ле- Ленинградского областного педагогического института заслуэюенныи дея- деятель науки Российской федерации доктор физико-математических наук, профессор Н. М. Матвеев. В. Ф. Зайцев, 1996 г. Групповой анализ изучает симметрию - фундаментальное свойство любого явления или процесса. В равной степени это касается и модели - уравнения, описывающего это явление или процесс. Более того, модель как математическая абстракция, как правило, более идеализирована, чем ори- оригинал, и в силу этого обстоятельства обладает симметрией более высокого порядка. Симметрийные методы исследования эффективны практически для всех типов уравнений - от алгебраических до интегро-дифференци- альных. На уровне неформальных понятий симметрию можно определить как свойство оставаться неизменным под действием каких-либо преобра- преобразований. Неизменным или инвариантным может быть отдельное урав- уравнение либо класс уравнений, причем в последнем случае каждый элемент класса не обязательно преобразуется "в себя", а может переходить в другой элемент того же класса; таким образом определяется преобразование эк- эквивалентности на классе. Основными задачами практического группового анализа дифферен- дифференциальных уравнений являются: 1) разработка регулярных (алгоритми- (алгоритмических) методов поиска всех видов симметрии уравнений; 2) решение об- обратных задач - поиск классов уравнений, имеющих априорную симметрию заданного вида; 3) установление общих принципов использования найден- найденных симметрии в практических задачах. §1. Основные определения, В этом разделе мы приведем необходимые понятия и определения общей алгебры и теории топологических групп. Следует помнить, что эти сведения ни в коей мере не заменяют специальную литературу, посвящен- посвященную указанным областям математики, а лишь очерчивают круг смежных направлений, лежащих в основании современного группового анализа. Определение 1. Множество G называется группой , если на этом множестве задана бинарная операция а о Ъ = с для любых а, Ъ е G так, что с е G (алгебраическая полнота), и удовлетворяющая следующим ак- аксиомам группы : 1.