Читать онлайн «Комплексные числа»

А. А. С. М. Кирова Рецензент: Медведева И. Н. , кандидат физ. мат. наук, доцент кафедры алгебры и геометрии ПГПИ им. С. М. Кирова. Кирсанов А. А. К435 Комплексные числа. Псков: ПГПИ, 2002 - 28 с. Учебно-методические рекомендации для самостоятельного изучения темы «Комплексные числа» в курсе линейной алгебры. К435 Издано в авторской редакции. © Псковский государственный педагогический институт им. С. М. Кирова, 2002 (ПГПИ им. Понятие числового поля Одним из простейших числовых множеств является мно- жество натуральных чисел N : N = {1,2,3,... } . В нём всегда выполнимы два основных алгебраических действия: сложение и умножение. Это означает, что для любых натуральных чисел m и n m + n и m⋅n есть снова натуральные числа. При этом выполнены следующие аксиомы: 1. m + n = n + m - коммутативный закон сложения; 2. (m + n ) + l = m + (n + l ) - ассоциативный закон сложения; 3. m ⋅ n = n ⋅ m - коммутативный закон умножения; 4. (m ⋅ n ) ⋅ l = m ⋅ (n ⋅ l ) - ассоциативный закон умножения; 5. (m + n ) ⋅ l = m ⋅ l + n ⋅ l - дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Операции вычитания и деления на множестве натураль- ных чисел N в общем случае невыполнимы, так, например 3-5, 2-2, 4:7, 11:3 не являются натуральными числами. Для выполнения действия вычитания множество натураль- ных чисел N расширяют до множества всех целых чисел Z : Z = {... , −3,−2,−1,0,1,2,3,... } . Числовое множество в котором всегда выполнимы опера- ции сложения и умножения в соответствии с аксиомами 1-5, а также операция вычитания называется кольцом. Таким образом множество всех целых чисел образует кольцо. В результате такого расширения мы получили множество всех рациональных чисел Q .