Читать онлайн «Задачи гидроупругости: Методические указания к курсу ''Гидроупругость''. Раздел 2»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ Методические указания к курсу «Гидроупругость» Раздел 2 для студентов дневного отделения механико-математического факультета Ростов-на-Дону 2006  Методические указания разработаны профессором кафедры теории упруго- сти и пластичности МГУ В. М. Александровым и доцентом кафедры теоретической гидроаэромеханики РГУ Б. И. Сметаниным. Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической гидроаэромханики РГУ, протокол № 10 от 3 июня 2006 г. 2  В первой части методических указаний «Задачи гидроупругости» [1] рас- смотрена плоская задача о собственных колебаниях упругой пластинки в идеаль- ной несжимаемой жидкости, а также осесимметричная задача о взаимодействии цилиндрической оболочки конечных размеров с идеальной несжимаемой жидко- стью. Данные методические указания содержат исследования двух задач: плоской задачи о вынужденных колебаниях тонкой упругой пластинки в потоке идеальной несжимаемой жидкости и осесимметричной задачи о собственных колебаниях уп- ругой круглой пластинки в идеальной несжимаемой жидкости. Все указанные за- дачи рассмотрены в линейной постановке. При построении решений этих задач применен метод интегральных преобразований. При интегрировании дифферен- циального уравнения изгибных колебаний пластинки использован разработанный авторами метод ортогональных многочленов. Плоская задача о вынужденных колебаниях упругой пластинки в потоке идеальной несжимаемой жидкости Пусть тонкая упругая пластинка бесконечной длины, постоянной ширины 2a находится в потоке идеальной несжимаемой жидкости. Невозмущенная ско- рость потока равна U . Будем считать заданными перемещение и угол поворота элемента срединной плоскости пластинки для точек ее передней кромки, при x = − a , в виде ∂f ( − a, t ) f ( − a, t ) = ay 0 e −iω t , = y1e −iω t , (1) ∂x где функция f ( x, t ) ( x ≤ a ) определяет прогиб срединной плоскости пластинки, t - время, ω - круговая частота колебаний, i - мнимая единица; y 0 , y1 − const . В линейной теории изгиба пластинок считается, что ∂f f << a; << 1 (2) ∂x 3  Вынужденные колебания передней кромки пластинки по закону (1) приво- дят к периодическому изгибу пластинки, имеющему характер бегущей в направ- лении потока волны. В результате взаимодействия колеблющейся пластинки с жидкостью возникает сила тяги (упор), направленная против потока. Уравнение, которому должна удовлетворять функция f ( x, t ) , имеет вид [2] ∂4 f ∂2 f D = −ρ0h +p −p (| x |≤ a ) (3) ∂x4 ∂t 2 y = −0 y = +0 E h3 D= 12(1 − ν 2 ) Здесь D - жесткость пластинки при изгибе, E - модуль Юнга, ν -коэффициент Пуассона, ρ0 - плотность пластинки, h - толщина пластинки ( h << a ), p = p ( x, y , t ) - гидродинамическое давление.