Читать онлайн «Дифференциальная топология»

40 ДЖ. ТЭЙТ Примечание 2. По ноноду ситуации с многообразиями V, Wn FBJ обсуждавшейся в § 4, можно высказать следующие соображения. Пуст X—регулярная схема конечного типа над Z, дзета-функция ?(Х, s) кото рой мероморфно продолжается в окрестность точки s = dimX—1. Обозна-j чим символом е (X) порядок функции ? (X, s) в этой точке и положим z (X) = ранг И" (X, О*х)—ранг Н1 (X, О*х)—е (X). Если из X вырезать замкнутую неприводимую подсхему коразмерности 1, ¦; число z (X) не изменится. Следовательно, оно является бирациональным инвариантом и зависит лишь от поля функций на X. Пусть теперь мор- физм /: X->Y с общим слоем определен, как в начале § 4 (т. е. / про- гладок, схема У г. ноябрь—декабрь т. XX, вып. 6 A26) УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ективен и v,u а шодик, схема г регулярна, а схема V неприводима). Легко видеть тогда, что из следующих трех утверждений любое является след- следствием двух других: 1) Гипотеза Берча и Свиннертона—Дайера верна для многообразия V/k. 2) Гипотеза 2 при i = l верна для многообразия VJk. 3) z(X)=z(Y). Поскольку z(X) = 0 в случае, когда X—спектр конечного поля или кольца целых чисел в поле алгебраических чисел, и так является бирациональным инвариантом, мы можем заключить ™— z(x) = 0 для всех X, если утверждения 1) _, r__ H. . « ^ Мы приходим, таким образом, к следующему предположению. как z(X) отсюда, для всех V. , _, . —... iiuoajiuouiUM, мы можем зак. что z(x) = 0 для всех X, если утверждения 1) и 2) верны Мы приходим, таким образом, к следующему Гипотеза 4. Пусть X—регулярная схема конечного типа над кольцом Z. Тогда порядок дзета-функции ? (X, s) в точке s = dimX—1 равен разности ранг Н° (X, Ох)—ранг Н1(Х, Ох). ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА [1] М. D e u r i n g, Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkorper, Abh. Math. Sem. Hamburg 14 A941), 197—272. [2] W. V. D. Hodge, Address at the International Congress of Mathematicians, Cam- Cambridge, Mass. , 1950. [3] J. P. S e r r e, Analogues Kahleriens de certaines conjectures de Weil. Ann. of Math. , 1960 or 1961. [4] Ж. Р. С e p p, О конгруэнтподгруппах абелевых многообразий, Изв. АН 28 A964), 3-20. [5] J. P. S е г г, Groupes de Lie 1-adiques attaches aux courbes elliptiques, colloque de Clermont — Ferrand, April, 1964. [6] Y. T a n i у a m a, L-functions of number fields and zeta functions of abelian varieties, Journ. Matb. Soc. Japan 9 A957), 330—366. [7] J. T a t e, Duality theorems in Galois cohomology, Proceedings of tbe International Congress of Mathematicians, Stockholm, 1962, 288—295. [8] A. W e i 1, Varietes abeliennes et courbes algebriques, Paris, 1948. [9] A. VV e i 1, Numbers of solutions of equations in finite fields, Bull. Amer. Math. Soc. 55 A949), 497-508. [10] A. Wei 1, Jacobi sums as «Griisencharaktere», Trans. Amer. Math. Soc. 73 A952), 487-495. [11] A. \V e i 1, Abstract versus classical algebraic geometry, Proceedings of the Internatio- International Congress of Mathematicians (Volume III), Amsterdam, 1954, 550—558. [12] A. M a t t u с k, Cycles on abelian varieties, Proc.