Читать онлайн «Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика. Алгебра»

УДК 511+512 ББК 22. 1 И 32 Шклярский Д. О. , Ченцов Н. Н. , Яглом И. М. Избран- Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифме- Арифметика и алгебра. — б-е изд. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 480 с. — ISBN 5-9221-0106-4. Книга содержит 320 задач, относящихся к алгебре, арифме- арифметике и теории чисел. По своему характеру эти задачи значительно отличаются от стандартных школьных задач. Большинство из них предлагалось в школьных математических кружках при МГУ и на математических олимпиадах в Москве. Книга рассчитана на учащихся старших классов средней школы. Задачи, доступные уча- учащимся седьмых-восьмых классов, отмечены особо. Даны подроб- подробные решения всех задач; более трудные задачи снабжены указа- указаниями. Настоящее издание воспроизведено по тексту четвертого издания. © ФИЗМАТЛИТ, 2001 © Шклярский Д. О. , Ченцов Н. Н. , ISBN 5-9221-0106-4 Яглом и-м-> 2001 СОДЕРЖАНИЕ Из предисловия к четвертому изданию 4 Общие указания к пользованию книгой 6 Задачи 9 1. Вводные задачи A-14) 9 2. Перестановки цифр в числе A5-26) 13 3. Задачи на делимость чисел B7-71) 15 4. Разные задачи из арифметики G2-109) 22 5. Решение уравнений в целых числах A10-130) 28 6. Оценки сумм и произведений A31—159) 32 7. Разные задачи из алгебры A60-195) 39 8. Алгебра многочленов A96-221) 46 9. Комплексные числа B22-239) 50 10. Несколько задач из теории чисел B40-254) 56 11. Некоторые замечательные неравенства B55-308) 61 12. Ряды разностей и сумм числовых последовательнос- последовательностей C09-320) 76 Решения 83 Ответы и указания 446 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ Настоящая книга является первой из ряда сборников задач, построенных на материале, накопленном в школьном математическом кружке при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Эти сборники содержат задачи и теоремы, большая часть которых предлагалась на занятиях секций школьного математического кружка при МГУ и на математических олимпиадах московских школьни- школьников; они рассчитаны на участников и руководителей школьных математических кружков, а также кружков в педагогических институтах. Настоящая книга содержит задачи по арифме- арифметике, алгебре и теории чисел. Последующие сборники задач будут посвящены геометрии: вторая книга содержит плани- планиметрические, а третья — стереометрические задачи. Разу- Разумеется, отдельные книги этого ряда совершенно не зависят друг от друга. В работе над сборниками кроме Н. Н. Ченцова и И. М. Яг- лома принимали участие и другие руководители школьного математического кружка при МГУ. Около 40 задач заимст- заимствовано из рукописи одного из создателей школьного кружка при МГУ и замечательного руководителя секций кружка Да- Давида Оскаровича Шклярского A918-1942)*), работавшего в школьном математическом кружке при МГУ в 1936-1941 гг. и погибшего на фронте Великой Отечественной войны. Учиты- Учитывая большое влияние, которое оказал Д. О. Шклярский на пос- последующую деятельность школьного математического кружка *) Относительно истории школьного математического кружка при МГУ и роли Д. О.